独立性の検定、帰無仮説と対立仮説

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独立性の検定、帰無仮説と対立仮説

前回のクラメールの連関係数と例題までで相関分析の基本的なことを見ました。今回は独立性の検定について見てみます。

独立性の検定とは

前回のクラメールの連関係数を求める例題では、薬学部の20人のアンケート結果から得られたものでした。母集団を日本全国の薬学部と考えると、別の20人が選ばれていたらアンケート結果は変わっていたはずです。母集団のクラメールの連関係数を求めるには、全薬学部生からアンケート結果をもらわないといけません。

統計学は標本から母集団を推定する学問であるため、標本から母集団のクラメールの連関係数を推定できそうですが、残念ながらできません。ただ母集団のクラメールの連関係数が0でないことはわかります。

母集団のクラメールの連関係数が0ということは、2変数が無関係であるということを示すわけですが、これを調べる方法が独立性の検定となります。つまり、検定とは母集団について立てた仮説が正しいかどうかを標本のデータから推測することを言い、独立性の検定はその1つといえます。

帰無仮説と対立仮説

検定を行うには、帰無仮説と対立仮説を立てる必要があります。

帰無仮説；立証が難しそうな肯定的な仮説
対立仮説；帰無仮説に対立する仮説

先ほどの薬学部のアンケートの例でいうと、

帰無仮説；母集団における性別と好きな科目のクラメールの連関係数は0である
対立仮説；母集団における性別と好きな科目のクラメールの連関係数は0よりも大きい

と表現することができます。

帰無仮説と対立仮説は統計学の独特な表現なので慣れないと思うので、例題を見てみましょう。

例題1

「ある製薬企業の錠剤を作る工場では、不良品発生率は平均0.05より大きい」という仮説を検定したい。この時の帰無仮説と対立仮説を答えよ

帰無仮説；平均不良品発生率は0.05である。
対立仮説；平均不良品発生率は0.05より大きい

例題2

「ある大手薬局グループの就業時間の母平均は40時間より大きい」という仮説を検定したい。この時の帰無仮説と対立仮説を答えよ

帰無仮説；就業時間の母平均は40時間である
対立仮説；就業時間の母平均は40時間より大きい

どうでしょうか？感覚的に帰無仮説と対立仮説がわかったでしょうか？次回は検定をさらに深掘りしていきます。

まとめ

検定とは母集団について立てた仮説が正しいかどうかを標本のデータから推測することを言う。
独立性の検定は、標本から母集団のクラメールの連関係数が0でないことを調べる方法をいう。
検定するにあたって、帰無仮説と対立仮説をたてる必要がある。

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基準値と偏差値: 偏差値は基準値×10+50で出すことができます。偏差値は基準値をもとにして出されるので、満点の点数が違うものや、単位が違うものも比較できます。
標準偏差を用いて、データの特殊性を評価する: 標準偏差1個以内にあるものは全体の70%を占め、月並みなデータですが、2個以上離れているデータは正規分布する場合前回の5%しか存在せず、かなり特殊なデータと言える。
データに一定数を加えた時の平均値や標準偏差への影響: データに一定数を加えて加工すると平均値のみ変化して標準偏差には影響を与えません。これはヒストグラムがただ横にスライドするだけと考えるとわかりやすいでしょう。
データに一定数をかけた時の平均値や標準偏差への影響: データに一定数をかけた場合、平均値も標準偏差もかけた数だけ増えます。つまり没問が出た場合、標準偏差にも影響が出てしまうため得点を二倍にしてはいけません。
正規分布の式とグラフ: ヒストグラムの階級を限りなく狭めていくと曲線になっていき、その曲線の式を確率密度関数といいます。正規分布は確率密度関数の1つで左右対称の山のようなグラフとなります。
標準正規分布と性質: 平均が0で標準偏差が1の時は、xは標準正規分布に従います。正規分布の特性としてμ±σの範囲のデータの相対度数は約70%がこの中に入り、μ±2σの範囲のデータの相対度数は約95%がこの中に入ります。
標準正規分布の95%予言的中区間: 標準正規分布は無限の数字をとる可能性がありますが、その性質を利用することで次に出てくるデータを推測することができます。標準正規分布の95%予言的中区間は－1.96～＋1.96です。
正規分布の95%予言的中区間と例題: 標準正規分布のデータに一定数σをかけて、さらに一定数μを足して加工するため、正規分布の95%予言的中区間は、μ－1.96σ～μ+1.96σです。
標準正規分布表、面積と確率: 標準正規分布表は、横軸の値と確率密度関数のグラフで囲まれる面積がどれくらい占めているのかを表しています。またこの面積は確率と等しくなります。
データから母集団を推定する方法: 正規分布の95%予言的中区間を使うことで、データから母集団を推定することができます。この時に、仮説が妥当ではない場合は仮説を棄却すると統計学では言います。
95%信頼区間とは: 95%信頼区間とは様々な観測値から同じ方法で区間推定をして、そのうち95%は正しい母数を含んでいるものを言います。－1.96≦(N－μ)/σ≦+1.96で95%信頼区間は求めます
無作為抽出の仮定と母平均: 無作為抽出の仮定を用いると、階級値×相対度数の合計=平均値をあてはめることができ、ここから出した平均値を母平均といいます。
母標準偏差の出し方: 度数分布表から母分散を出す場合、(偏差の二乗×相対度数)の合計で出す必要があります。また母分散に√(ルート)をとったものが母標準偏差です。
標本平均とは: 1つの母集団からn個のデータを観測して標本平均を作ると、nが大きいほど標本平均は母平均に近い数値をとる可能性が高くなります。
正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間: 母集団が正規分布している場合は、そこから標本平均を作った場合も正規分布します。正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間はμ－1.96σ/√n～μ+1.96σ/√nです。
標本平均から母集団の母平均を推定する: 観測データから母集団の母平均μを推測する場合は、95$信頼区間を利用して、標本平均が予言の範囲に入るような母平均を持つ母集団のみ妥当なものとして残す
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(標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和はカイ二乗分布する: (標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和は標本分散に比例するためカイ二乗分布をとります。ただし、自由度がn－1となります。
(標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和の自由度が1下がる理由: (標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和は元は2つだったデータが式変形することで1つに減るため、自由度が1下がったカイ二乗分布となります。
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