(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和はカイ二乗分布する

前回の母分散をカイ二乗分布で推定する方法では、母分散の95%信頼区間をやりました。今回は前回出てきた(標本−母平均)/母標準偏差の二乗の和という式のうち、「母平均」を「標本平均」に変えたらどうなるのかというのをみていきたいと思います。

 

 

(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和

(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和を数式化すると

 

(標本1−標本平均)^2/母標準偏差^2+(標本2−標本平均)^2/母標準偏差^2+(標本3−標本平均)^2/母標準偏差^2+・・・・(標本n−標本平均)^2/母標準偏差^2となります。母標準偏差^2は母分散となるので

 

(標本1−標本平均)^2/母分散+(標本2−標本平均)^2/母分散+(標本3−標本平均)^2/母分散+・・・・(標本n−標本平均)^2/母分散となります。この式をさらに変形すると

 

｛(標本1−標本平均)^2+(標本2−標本平均)^2+(標本3−標本平均)^2+・・・・(標本n−標本平均)^2｝/母分散とまとめることができます。これを統計量Wとします。

 

 

一方で標本分散の出し方は、以下の手順で出しました。

 

1. 標本平均を出す
2. 各標本から標本平均を引き偏差を出す
3. 各偏差を二乗して合計して標本数で割る

 

つまり、｛(標本1−標本平均)^2+(標本2−標本平均)^2+(標本3−標本平均)^2+・・・・(標本n−標本平均)^2｝/n

 

ここでそれぞれの式の分子をみてみると、｛(標本1−標本平均)^2+(標本2−標本平均)^2+(標本3−標本平均)^2+・・・・(標本n−標本平均)^2｝の部分が全く一緒です。

 

つまりW×母分散=n×標本分散ということができます。これをさらに式変形すると

 

W=n×標本分散÷母分散となります。標本分散はカイ二乗分布するので、それの比例関係となっているWもカイ二乗分布することがわかります。

 

要するに、(標本−母平均)/母標準偏差の二乗の和という式のうち、「母平均」を「標本平均」に変えた(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和もカイ二乗分布することがわかりました。ただし、このカイ二乗分布は自由度がn−1となります。つまり自由度が1減るということです。脳みそが疲れたと思うので、今回はこれくらいにしておいて、自由度が1減る説明は次回行いたいと思います。

 

まとめ

• (標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和は標本分散に比例するためカイ二乗分布をとる。ただし、自由度がn−1となる。