標本平均とは

前回の母標準偏差の出し方では、母標準偏差についてみました。今までは母集団からデータを一個抽出した場合を見ましたが、これが複数個ある場合はどうなるでしょうか？今回は標本平均についてみてみます。

標本平均

母平均を推定するにあたって、一個のデータ(標本)から推定するよりは、複数個データがあった方がいいというのは、ここまで統計学をやってきた皆さんであれば直感的にわかるかと思います。なぜなら、偶然に起きるデータの散らばりをなるべくなくして、より実際の値に近づけるからです。

では、複数個データがある場合はどうするのか？これも今まで統計学をやってきた皆さんに対しては愚問ですね。データの合計の平均をとればいいですね。このようにして観測されたデータの平均値を標本平均と呼び、以下のような式で表されます。

標本平均=観測されたデータの合計÷観測データ数

では、ここでまた例題を見てみましょう。

ドラえも〇の四次元ポケットがあったとする。四次元ポケットの中に、「1」、「2」、「3」、「4」、「5」と書かれたくじが無限に入っていて、どの数字も出る確率は20%であるという。この四次元ポケットから、くじを引く作業を行う。

まとめ

1つの母集団からn個のデータを観測して標本平均を作ると、nが大きいほど標本平均は母平均に近い数値をとる可能性が高くなる

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母集団と標本: 統計学とは、簡単に言うと標本の情報から母集団の状況を推測する学問です。母集団とは本来調査するべき全員を指し、その一部を標本ということができます。
数量データとカテゴリーデータ: 統計学では、目盛が等間隔で測れるデータを数量データと言います。目盛が等間隔ではなく測れないものをカテゴリーデータと言います。
カテゴリーデータと単純集計表: カテゴリーデータをまとめたものは単純集計表と呼ばれることがあります。単純集計表の作り方は、カテゴリーデータの各項目を数えて、割合を出すことで作られます。
度数分布表の作り方、基礎編: データから度数分布表の作り方は、最大値と最小値を把握する、階級を決める、階級値を決める、度数を数える、相対度数を出すというように行います。
ヒストグラムの作り方、基礎編: ヒストグラムとはいわゆる棒グラフのことで、横軸は階級値、縦軸は度数(相対度数)などにより描かれます。度数分布表やヒストグラムを作ることで、より直感的にデータの特徴を感じることができます
度数分布表とヒストグラム、例題編: 今まで見てきた度数分布表とヒストグラムの作り方をもとに、例題を交えてさらに理解できるようにします。度数分布表とヒストグラムを慣れるまで繰り返しましょう。
平均値と中央値の違い: 平均値とはデータの合計値を全データで割ったもので、中央値はデータを小さい順から並べたときに真ん中にくるものです。そのため平均値と中央値は違います。
分散とは？: 平均値のみではデータの散らばりの判断がつかないので、分散を知る必要があります。分散は偏差の二乗の合計値を全データで割って求めることができます。
標準偏差、基礎編: 分散の欠点を解消するために√をとったものが標準偏差であり統計学ではかなり重要です。標準偏差は0であればデータが全く散らばっていなく、大きくなるほど散らばっていることを示しています。
標準偏差、例題編: 標準偏差の求め方は、平均値を出す、偏差を出す、分散を出す、標準偏差を出すという手順で出すことができます。薬学部において標準偏差を出すことができればかなりの進歩です。
統計学で偏差値を考える: CBTや国家試験の模試を行うと、偏差値が出てきます。統計学の平均値や標準偏差の知識を用いることで、テストの偏差値や1点の重みがわかります。
基準値と偏差値: 偏差値は基準値×10+50で出すことができます。偏差値は基準値をもとにして出されるので、満点の点数が違うものや、単位が違うものも比較できます。
標準偏差を用いて、データの特殊性を評価する: 標準偏差1個以内にあるものは全体の70%を占め、月並みなデータですが、2個以上離れているデータは正規分布する場合前回の5%しか存在せず、かなり特殊なデータと言える。
データに一定数を加えた時の平均値や標準偏差への影響: データに一定数を加えて加工すると平均値のみ変化して標準偏差には影響を与えません。これはヒストグラムがただ横にスライドするだけと考えるとわかりやすいでしょう。
データに一定数をかけた時の平均値や標準偏差への影響: データに一定数をかけた場合、平均値も標準偏差もかけた数だけ増えます。つまり没問が出た場合、標準偏差にも影響が出てしまうため得点を二倍にしてはいけません。
正規分布の式とグラフ: ヒストグラムの階級を限りなく狭めていくと曲線になっていき、その曲線の式を確率密度関数といいます。正規分布は確率密度関数の1つで左右対称の山のようなグラフとなります。
標準正規分布と性質: 平均が0で標準偏差が1の時は、xは標準正規分布に従います。正規分布の特性としてμ±σの範囲のデータの相対度数は約70%がこの中に入り、μ±2σの範囲のデータの相対度数は約95%がこの中に入ります。
標準正規分布の95%予言的中区間: 標準正規分布は無限の数字をとる可能性がありますが、その性質を利用することで次に出てくるデータを推測することができます。標準正規分布の95%予言的中区間は－1.96～＋1.96です。
正規分布の95%予言的中区間と例題: 標準正規分布のデータに一定数σをかけて、さらに一定数μを足して加工するため、正規分布の95%予言的中区間は、μ－1.96σ～μ+1.96σです。
標準正規分布表、面積と確率: 標準正規分布表は、横軸の値と確率密度関数のグラフで囲まれる面積がどれくらい占めているのかを表しています。またこの面積は確率と等しくなります。
データから母集団を推定する方法: 正規分布の95%予言的中区間を使うことで、データから母集団を推定することができます。この時に、仮説が妥当ではない場合は仮説を棄却すると統計学では言います。
95%信頼区間とは: 95%信頼区間とは様々な観測値から同じ方法で区間推定をして、そのうち95%は正しい母数を含んでいるものを言います。－1.96≦(N－μ)/σ≦+1.96で95%信頼区間は求めます
無作為抽出の仮定と母平均: 無作為抽出の仮定を用いると、階級値×相対度数の合計=平均値をあてはめることができ、ここから出した平均値を母平均といいます。
母標準偏差の出し方: 度数分布表から母分散を出す場合、(偏差の二乗×相対度数)の合計で出す必要があります。また母分散に√(ルート)をとったものが母標準偏差です。
正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間: 母集団が正規分布している場合は、そこから標本平均を作った場合も正規分布します。正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間はμ－1.96σ/√n～μ+1.96σ/√nです。
標本平均から母集団の母平均を推定する: 観測データから母集団の母平均μを推測する場合は、95$信頼区間を利用して、標本平均が予言の範囲に入るような母平均を持つ母集団のみ妥当なものとして残す
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