(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和の自由度が1下がる理由

前回の(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和はカイ二乗分布するでは自由度が1下がるという話をしました。そして、その自由度が1下がる理由を簡単ではありますが、みてみたいと思います。なお私のようになるべく理詰めしたい方向けなので、自由度が1下がるんだと割り切れる方は読み飛ばしてください(笑)

 

 

(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和の自由度が1下がる理由

ガチの理詰めをしようとすると数学の知識をかなり必要とするので、ここでは簡単な例のみで(標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和の自由度が1下がる理由を見ていきます。

 

母集団から標本を2つとったとし、1つ目の標本を「標本1」、2つ目の標本を「標本2」とします。

 

この時、標本平均=(標本1+標本2)/2で求められます。

 

(標本−標本平均)を出してみると、

 

標本1については、標本1−｛(標本1+標本2)/2｝=(標本1−標本2)/2

 

標本2については、標本2−｛(標本1+標本2)/2｝=(標本2−標本1)/2

 

となります。これらの二乗の和出すと

 

｛(標本1−標本2)/2｝^2+｛(標本2−標本1)/2｝^2=(標本1−標本2)^2/2

 

これで(標本−標本平均)の二乗の和ができたので、これを母標準偏差の二乗で割ります。

 

(標本1−標本2)^2/｛2×母標準偏差^2｝

 

さらに分母の2を√2の二乗とすると、

 

(標本1−標本2)^2/(√2×母標準偏差)^2

 

とできます。こうすることで、分子も分母も二乗の形にできたので、さらにまとめると

 

｛標本1+(−標本2)/√2×母標準偏差｝^2

 

 

となります。ここで標本1も標本2も母平均は同じであるため、標本1+(−標本2)は平均値が0の正規分布となります。また母分散も同じであるため標本1+(−標本2)は√2×母標準偏差の正規分布となります。

 

標本から母平均を引き、母標準偏差を割ることで標準正規分布に変換できたため、｛標本1+(−標本2)/√2×母標準偏差｝^2は標準正規分布に変換されていることになります。

 

つまり、｛標本1+(−標本2)/√2×母標準偏差｝^2はカイ二乗分布となり、元は2つだったデータが式変形することで1つに減っています。よって自由度が1個減ることになるのです。

 

冒頭のように、自由度が1減るということで割り切れる方や今の説明で意味不明だった人は今回の記事は理解できなくても大丈夫なので安心してください。

 

まとめ

• (標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和は元は2つだったデータが式変形することで1つに減るため、自由度が1下がる。