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クラメールの連関係数と例題
前回の相関比の求め方と例題では相関比を見ました。今回はクラメールの連関係数を見てみます。
クラメールの連関係数とは
相関比は、数量データとカテゴリーデータの組み合わせでした。今回見るクラメールの連関係数はカテゴリーデータとカテゴリーの組み合わせにおける指標を言います。早速例題を見てみましょう。
薬学部の男性と女性を集めて衛生と薬剤どちらの科目が好きかを質問したところ、以下の結果が得られた。この時のクラメールの連関係数を求めよ。
クラメールの連関係数は以下の手順で求めます。
- 実測度数を求める
- 期待度数を求める
- ピアソンのカイ二乗統計量を求める
- クラメールの連関係数を求める。
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実測度数を求める
先ほどの図における赤字の値は実測度数と言います。
期待度数を求める
先ほど確認した実測度数をもとに、各カテゴリーデータの合計値に各カテゴリーデータをかけて、それを全体数で割ったものを期待度数と言います。図でいうところの緑色が期待度数です。
例えば男性で衛生のところであれば、男性の合計値は5、衛生の好きな人の合計値は8なので、それを全体数20で割った5×8÷20となります。
これを各項目埋めたものが緑色のものになります。
ピアソンのカイ二乗統計量を求める
先ほど確認した実測度数と期待度数をもとに、それぞれのマスに(実測度数−期待度数)^2/期待度数を行います。図でいうところのオレンジの値になるはずです。
そして、それらを足し合わせたものがピアソンのカイ二乗統計量となります。
ピアソンのカイ二乗統計量=2.00+1.33+0.67+0.44=4.44
クラメールの連関係数を求める。
クラメールの連関係数は
- √｛ピアソンのカイ二乗統計量/(全データ数×カテゴリーデータの項目のうち少ない方−1)
で求められます。ピアソンのカイ二乗統計量は4.44、全データ数は20となります。問題は「カテゴリーデータの項目のうち少ない方−1」です。今回、性別と科目というカテゴリーデータを扱いました。性別は男性と女性の2つ、科目は衛生と薬剤の2つということでどちらも項目的には2なので、今回カテゴリーデータの項目のうち少ない方は2となります。ここから1を引くことになるので、1となります。
一応カテゴリーデータの項目のうち少ない方の補足として、性別の項目は変わらず男性と女性の2つのまま、科目は薬理を加えたとしたら、衛生、薬剤、薬理とすると3つになります。この場合は性別の項目の方が2と少ないのでこちらが選ばれて2とするということです。そして同様に1を引くので1となります。
以上よりクラメールの連関係数を求めると、
√｛4.44/(20×1)=0.471
これが答えです。
クラメールの連関係数も、相関比と同じく0〜1の間の数字となり、マイナスは出てきません。√｛ピアソンのカイ二乗統計量/(全データ数×カテゴリーデータの項目のうち少ない方−1)という式からもわかるようにマイナスになる要素がないからです。そして、毎度のようにいくつで関連しているという基準はないので、参考程度にみると
0.8〜1；非常に強い関連
0.5〜0.8；やや強い関連
0.25〜0.5；やや弱い関連
0〜0.25；非常に弱い関連(無関係)
これより今回はやや弱い関連となります。
まとめ
- カテゴリーデータとカテゴリーデータの関連性の指標として、クラメールの連関係数がある。
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- (標本−母平均)/母標準偏差を行うことで、標準正規分布に変換できます。つまりこの変換を行いカイ二乗分布をとることで、95%予言的中区間を利用することができます。
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- (標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和は標本分散に比例するためカイ二乗分布をとります。ただし、自由度がn−1となります。
- (標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和の自由度が1下がる理由
- (標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和は元は2つだったデータが式変形することで1つに減るため、自由度が1下がったカイ二乗分布となります。
- 母平均が未知の正規母集団の区間推定の例題
- (標本−標本平均)/母標準偏差の二乗の和を出すことで母平均が未知の正規母集団を区間推定することが可能となります。それの例題となります。
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- 統計量Tを出して、t分布がわかれば、未知の母平均を推定することができます。統計量T=(標本平均−母平均)×√(n−1)/標本標準偏差で求められます。
- t分布のヒストグラムと統計量Tの計算例題
- t分布のヒストグラムは正規分布に似たような山のようなグラフを描きます。t分布と正規分布の違いは、山のてっぺんと山の麓の高さが違います。
- t分布表の読み方
- t分布表の確率95%の数字を見て、そのプラスマイナスで挟まれる範囲の面積が95%となります。t分布は自由度が上がるにつれて正規分布に近づいていくため、自由度が∞の時の確率95%は標準正規分布と一緒の1.96となります。
- t分布を利用した未知の母平均の区間推定、例題
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