度数分布表の作り方、基礎編

前回のカテゴリーデータと単純集計表では、カテゴリーデータについて見ました。今回は数量データについてもう少し深掘りし、度数分布表について見ていきたいと思います。

度数分布表

前回では、当サイトについてアンケートをとった例についてお話ししました。そのアンケートの項目に私が皆様に「身長はどれくらいですか？」と質問したところ以下のようなデータが得られたとしましょう。

この数字を見て何かわかることはあるでしょうか？

おそらく私を含めて多くの人は、「数字があるなぁ」くらいにしか思わないと思います(笑)そして実際に様々な身長の数字をとっていることくらいはわかります。この様々な数字をとることを統計学では分布すると言います。つまり、今回の身長の例を統計学では「身長は分布する」と表現します。

この分布している数字ですが、なんらかの特徴をもって分布していますが、先ほどもお話ししたように普通の人であればただの数字にしか見えません。そこで統計学では分布の特徴を見出すために整理整頓をしていき、意味のあるデータだけを抽出していきます。

整理整頓して直感的にわかりやすくするにはグラフ化するのがわかりやすいですね。そのため、グラフ化するために以下の手順で準備を行います。

最大値と最小値を把握する
階級を決める
階級値を決める
度数を数える
相対度数を出す

最大値と最小値を把握する

まず各身長について区切りをつけていきます。数字を見たときに一番大きい身長は170、一番小さい身長は141です。全ての身長はこの範囲に収まることがわかります。

階級を決める

次に141～170が収まるよう、区切りのいい5cmきざみで分類していきます。つまり

141～145
146～150
151～155
156～160
161～165
166～170

このようにわけます。この区切りを統計学では階級と言います。

階級値を決める

先ほど階級を作りましたが、その真ん中の値を階級値と呼びます。166、167、168、169、170では真ん中の数字は168となります。これを全ての階級で行うと

141～145；階級値143
146～150；階級値148
151～155；階級値153
156～160；階級値158
161～165；階級値163
166～170；階級値168

となります。

度数を数える

各階級にあるデータの数を度数と言います。166～170では、3個この中に当てはまる数字があるので、度数は3となります。これを全ての階級で行うと

141～145；階級値143；度数1；累積度数1
146～150；階級値148；度数3；累積度数4
151～155；階級値153；度数9；累積度数13
156～160；階級値158；度数15；累積度数28
161～165；階級値163；度数9；累積度数37
166～170；階級値168；度数3；累積度数40

となります。

この度数を上から数えたものを累積度数と言い、最後の166～170までやると当然全データの40となります。

度数を数えることで、今回のデータは156～160に身長が集まっていることがわかりますね。

相対度数を出す

各度数を全データで割ったものを相対度数と言います。166～170では、度数が3ありました。全データ数は40なので、これで割ると3÷40=0.075となります。これを全ての階級で行うと

141～145；階級値143；度数1；累積度数1；相対度数0.025
146～150；階級値148；度数3；累積度数4；相対度数0.075
151～155；階級値153；度数9；累積度数13；相対度数0.225
156～160；階級値158；度数15；累積度数28；相対度数0.375
161～165；階級値163；度数9；累積度数37；相対度数0.225
166～170；階級値168；度数3；累積度数40；相対度数0.075

となります。

相対度数を出すことで、それぞれの度数が何%占めているかわかります。例えば、156～160では先ほどざっくりと数が多いことは度数からわかりましたが、相対度数が0.375なので、37.5%占めていることがわかります。

補足ですが統計のテストの時には、間違い確認として、相対度数の合計値が1となることを念のため確認しておきましょう。

このようにして、まとめたものを度数分布表と言います。度数分布表を作ることで、元の40個がどのようなデータであったかがわからなくなってしまいますが、代わりに始めにわからなかった分布の特徴を見ることができます。

例えば、すでに説明済みですが、156～160にデータが集まっている。また156～160を起点にして身長が低い方にも高い方にも左右対称にデータが分布している。などが度数分布表から読み取れます。

つまり今回のはじめのデータから度数分布表にする作業を会話に置き換えると、はじめの40個のデータは会話の全てとなります。それに対して、度数分布表は会話のまとめということができます。

まとめ

データから度数分布表の作り方は、最大値と最小値を把握する、階級を決める、階級値を決める、度数を数える、相対度数を出すというように行う。
度数分布表を作ることで、元のデータは失われるが、データの特徴を見出すことができる。

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正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間: 母集団が正規分布している場合は、そこから標本平均を作った場合も正規分布します。正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間はμ－1.96σ/√n～μ+1.96σ/√nです。
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Excelを用いたカイ二乗分布の横軸の出し方: ExcelのCHISQ.INV.RT関数は、カイ二乗分布の右側の面積に該当する横軸を求められる関数です。CHISQ.INVはカイ二乗分布の左側の面積に該当する横軸を求められるのが違いです。
母分散をカイ二乗分布で推定する方法: (標本－母平均)/母標準偏差を行うことで、標準正規分布に変換できます。つまりこの変換を行いカイ二乗分布をとることで、95%予言的中区間を利用することができます。
(標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和はカイ二乗分布する: (標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和は標本分散に比例するためカイ二乗分布をとります。ただし、自由度がn－1となります。
(標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和の自由度が1下がる理由: (標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和は元は2つだったデータが式変形することで1つに減るため、自由度が1下がったカイ二乗分布となります。
母平均が未知の正規母集団の区間推定の例題: (標本－標本平均)/母標準偏差の二乗の和を出すことで母平均が未知の正規母集団を区間推定することが可能となります。それの例題となります。
t分布と統計量Tとは？: 統計量Tを出して、t分布がわかれば、未知の母平均を推定することができます。統計量T=(標本平均－母平均)×√(n－1)/標本標準偏差で求められます。
t分布のヒストグラムと統計量Tの計算例題: t分布のヒストグラムは正規分布に似たような山のようなグラフを描きます。t分布と正規分布の違いは、山のてっぺんと山の麓の高さが違います。
t分布表の読み方: t分布表の確率95%の数字を見て、そのプラスマイナスで挟まれる範囲の面積が95%となります。t分布は自由度が上がるにつれて正規分布に近づいていくため、自由度が∞の時の確率95%は標準正規分布と一緒の1.96となります。
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