母分散をカイ二乗分布で推定する方法

前回のカイ二乗分布表の読み方と例題では、カイ二乗分布表の見方について学びました。今回は母分散をカイ二乗分布で推定する方法についてみていきたいと思います。

 

 

カイ二乗分布の95%予言的中区間の作り方

カイ二乗分布の分布が得られると、95%予言的中区間が得られます。その作り方は前回の例題と同じイメージになります。まず再度カイ二乗分布表を見てみましょう。

 

 

このカイ二乗分布表の自由度4のところをみてください。0.975(97.5%)の面積を占めるのは、0.484となっています。そして、0.025(2.5%)の面積を占めるのは11.143となっています。つまり、0.484〜11.143の区間で95%の面積を占めていることになります。

 

今は自由度4を見てみましたが、他の自由度ではもちろん変わります。例えば、自由度10のカイ二乗分布表では3.247〜20.483が95%予言的中区間ということになります。

 

 

母分散をカイ二乗分布で推定する

カイ二乗分布は母集団が標準正規分布しているものからデータをとり、そのデータを二乗して足した統計量を扱いました。そのため、標本をまず標準正規分布するように変換しなくてはなりません。標準正規分布させるには、標本から母平均を引き、それを母標準偏差で割ることで変換できます。つまり、

 

(標本−母平均)/母標準偏差

 

で変換できます。

 

これらを各標本で算出したものを二乗することでカイ二乗分布を出します。いまいちよくわからないので例題に行きましょう。

 

例題

ある錠剤の母集団は、母平均が10gの正規母集団であることがわかっている。この正規母集団から4回データを測ったところ、8g、9g、9g、11gだったとする。母分散の95%信頼区間を求めよ。

 

では、まず8gから見てみると、

 

(8−10)/母標準偏差=−2/母標準偏差

 

となります。カイ二乗分布では、これを二乗するので、4/母標準偏差^2となります。同様にすべてのデータを行うと、

 

4/母標準偏差^2+1/母標準偏差^2+1/母標準偏差^2+1/母標準偏差^2=5/母標準偏差^2=5/母分散

 

となります。4回データをとっているので自由度4のカイ二乗分布表に従うことになります。これが冒頭でやった95%予言的中区間の中に入ることになるので、

 

0.484≦5/母分散≦11.143

 

これを解いて、0.45≦母分散≦10.33。これが答えです。

 

まとめ

• 標本を標準正規分布に直してカイ二乗分布をとることで、95%予言的中区間を利用することができる。