正規分布の式とグラフ

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正規分布の式とグラフ

前回の標準偏差を用いて、データの特殊性を評価するで、チラッと正規分布という話をしました。その時は左右対称の山のようなグラフとざっくり説明しましたが、今回は正規分布をしっかりとみていきたいと思います。

正規分布

一番初めの度数分布表の例に使った身長のアンケートなど、自然や社会で観測されるデータにおいて不確実でまちまちに分布しているものがたくさんあります。これらのデータをたくさん集めてくると、ある特徴をもって分布していることがわかりました。

正規分布の式

正規分布は、確率密度関数の1つであることを先ほどお話ししました。

さらっと流しましたが、「関数」です。

察しのいい方は気づいたと思いますが、関数なので正規分布は数式で表すことができます。それを表すと以下のような数式になります。

・・・・・この式で統計アレルギーを発症した人いるのではないでしょうか(笑)1つずつ式を見ていきます。

まずeは数Ⅲをやった人であれば問題ないかと思います。ただ薬学部では数Ⅱどまりの人もいるかもしれないので一応解説しておくとeは自然対数の底のことを指し、数字にすると2.7182・・・・となります。よくわからない人はπ(パイ)=3.14みたいなものと思っておけばいいです(笑)

では改めてこの式を見ると、残りは標準偏差と平均という文字のみです。これはすでに学習済みで、そのデータにおける標準偏差と平均を入れるのみです。例えば、この前行った衛生の例では平均値が37.6で標準偏差が20でした。これを入れるだけです。

この場合、xは平均が37.6で標準偏差が20の正規分布に従うと統計学では言います。

どうしても式が出てきてしまうと、統計学アレルギーが出てきてしまいますが、ここのあたりも壁になってくるので何回も見直して理解してください。

まとめ

ヒストグラムの階級を限りなく狭めていくと曲線になっていき、その曲線の式を確率密度関数という。
正規分布は確率密度関数の1つで左右対称の山のようなグラフとなる。

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データに一定数を加えた時の平均値や標準偏差への影響: データに一定数を加えて加工すると平均値のみ変化して標準偏差には影響を与えません。これはヒストグラムがただ横にスライドするだけと考えるとわかりやすいでしょう。
データに一定数をかけた時の平均値や標準偏差への影響: データに一定数をかけた場合、平均値も標準偏差もかけた数だけ増えます。つまり没問が出た場合、標準偏差にも影響が出てしまうため得点を二倍にしてはいけません。
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標準正規分布の95%予言的中区間: 標準正規分布は無限の数字をとる可能性がありますが、その性質を利用することで次に出てくるデータを推測することができます。標準正規分布の95%予言的中区間は－1.96～＋1.96です。
正規分布の95%予言的中区間と例題: 標準正規分布のデータに一定数σをかけて、さらに一定数μを足して加工するため、正規分布の95%予言的中区間は、μ－1.96σ～μ+1.96σです。
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