標本分散の性質

正規分布の式とグラフのページで、確率密度関数の1つに正規分布があるといった話をしましたが、ほかにももちろんあります。その1つがカイ二乗分布です。今回はカイ二乗分布の導入前の作業として標本分散についてみていきたいと思います。

 

 

標本分散

母平均を推定するにあたって、標本平均の求め方などを勉強してきました。ただ分散とは？でもお話ししたように、平均値だけではどれくらいデータが広がっているかが判断できません。そこで観測データから標本分散を求めることで広がりを判断します。

 

標本分散の出し方は、分散の時とほぼ同じ以下の手順で出せます。

 

1. 標本平均を出す
2. 各標本から標本平均を引き偏差を出す
3. 各偏差を二乗して合計して標本数で割る

 

つまり、標本分散=｛(偏差1)^2+(偏差2)^2+・・・・+(偏差n)^2｝/n

 

という式になります。そして、ここで若干ゴリ押しで申し訳ないのですが、標本分散を求める時に最後のステップで割る標本数nは、nではなく(n−1)を使うことが一般的です。これにはとある大人の事情が関わっていますが、n−1よりもnの方が説明にあたってしっくりくると思うのでnを用いて当サイトでは説明させていただきます。

 

もし薬学部の大学での授業に使っている教科書でn−1を使っていて、さらにはテストの時もn−1を使っているようであればそちらを使うようにしてください。そこで計算ミスで不合格などなってしまうと目も当てられませんから(笑)

 

 

標本分散の性質

正規分布している母集団からの標本平均における95%予言的中区間でお話ししたように、母集団が正規分布している場合は、そこから作る標本平均も正規分布するという話をしました。では、正規分布する標本平均をもとに計算される標本分散は正規分布するのでしょうか？

 

それの答えを知るにあたって、改めて標本分散の式を見てみましょう

 

標本分散=｛(偏差1)^2+(偏差2)^2+・・・・+(偏差n)^2｝/n

 

言うまでもなく、標本分散は偏差とnに影響を受けることがわかります。ここで注目してほしいのが、各偏差を二乗して合計して標本数で割っているということです。各偏差を二乗して足しているので、分子の部分は必ずプラスになります。そして割る標本数nもプラスです。

 

つまり標本分散は必ず正(プラス)の値をとることになります。正規分布は−∞〜＋∞の範囲をとっていましたから、必ずプラスになる標本分散は正規分布しないことがわかるかと思います。この標本分散の性質が現れるのが、目標であるカイ二乗分布のヒストグラムとなります。それを次回みていきたいと思います。

 

まとめ

• 標本分散は必ずプラスになり正規分布しない