順列の基本

前回の確率の基本では確率の基礎を学びました。今回は順列についてみていきたいと思います。今回も高校の数学レベルなので問題ないよという方は飛ばしてください。

 

 

順列を学ぶ上で早速例題です。

 

例題

A、B、Cの3人が3人全員並ぶ並び方は何通りあるか？

 

●●●という風に並べるとすると、初めに一番左をAとすると、A●●となります。真ん中に入るのはBかCなので、Bを入れるとするとAB●となります。最後に残ったCが一番右に入るのでABCとなります。これを同様にして考えると以下の並び方が出てきます。

 

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

 

つまり6通り、これが答えです。

 

これを数式にして考えると、初め(一番左)はAかBかCかの3通りがあり、次の真ん中は残された2人なので2通り、一番右は残された1名で勝手に決まるので1通り、つまり3×2×1=6通りと求めることができます。

 

ここで、このような計算を楽にするための方法としてよく使われるのが階乗です。階乗はその数以下の自然数の全てをかけたものを言い、!で表されます。

 

• 0!=1
• 1!=1
• 2!=2×1=2
• 3!=3×2×1=6
• 4!=4×3×2×1=24

 

といった感じです。0!=1だけ例外なので注意してください。

 

では次の例題です。

 

 

例題2

A、B、C、D、E、Fの6人が並ぶ並び方は何通りあるか？

 

先ほどのように最初にAを並べて、次をBをやってとやると途方もない時間がかかります。そのため6!で計算します。6!=6×5×4×3×2×1=720通り、これが答えです。

 

例題3

A、B、C、D、Eの5人のうち、3人が1列に並ぶ並び方はいくつあるか？

 

これも先ほどと同様に考えると、初めは5通り、次は4通り、最後は3通りなので、5×4×3=60通りとなります。

 

このような時に出てくるのが順列のPを使った式です。今回は5P3と書きます。

 

5P3=5!/(5−3)!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=5×4×3=60通りと計算されます。

 

この式の意味合いとしては、5人全員が並ぶ並び方である5!を計算して、それを実際に並ばない人である(5−3)!で割ったものとなります。

 

例題4

A、B、C、D、E、Fの6人のうち、4人が1列に並ぶ並び方は何通りあるか？

 

先ほどの例題が理解できていれば問題ないかと思います。

 

6P4=6!/(6−4)!=(6×5×4×3×2×1)/(2×1)=720通り。これが答えです。

 

まとめ

• 順列を計算するうえで階乗が使えると楽