順列の応用と組み合わせ

前回の順列の基本では、順列と階乗について確認しました。今回は順列の応用と組み合わせをみていきたいと思います。今回も変わらず高校の数学レベルなので、余裕な方は飛ばしてください。

 

 

では、まず順列の応用編の例題からいきます。

 

例題1

A、B、C、D、Eの5人が1列に並ぶ。この時A、Bの2人が先頭の2番目までにならぶ確率はいくつか？

 

確率=ある事象が起こる度数÷考えられる全ての度数で表されました。

 

まず考えられる全ての度数ですが、5人が1列に並ぶのは5!=120通りです。

 

次にある事象が起こる度数ですが、A、Bの二人が先頭の2番目にくるのは、AB●●●か、BA●●●の2通りしかないです。一応式にすると2P2=2となります。残りの●●●の中にC、D、Eが入る順列を考えると3P3=6通りです。よってこれらを掛け合わせて2×6=12がある事象が起こる度数となります。

 

以上のことから、確率=ある事象が起こる度数÷考えられる全ての度数=12/120=0.1。これが答えです。

 

例題2

薬学部の学生を各学年1人ずつ集めてディベートをした。司会は6年生が務めて場所が決まっているものとする。残りの1年生〜5年生の配置方法は何通りあるか？

 

6年生の場所は固定されているので、残りの5つの席の並べ方を考えればよいことになります。つまり5!=120通りです。

 

1年生から6年生まで集めてディベートすると色々な意見が聞けそうで面白そうですね。

 

次は頭を少し切り替えて組み合わせの例題を見ていきます。

 

 

例題3

A、B、C、D、Eのうち3人が選ばれる組み合わせはいくつか？

 

先ほどまでの順列の例題と違うのは、順番はどうでもいいのでどの3人が選ばれるかという点です。例えば、A、B、Cの3人で考えた場合、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAと順列ではなりましたが、組み合わせで考えた時は1通りとなります。

 

3人が並ぶ並び方はどうでもよく無視できるので、5人のうちから3人を並べる5P3=60を3人の並び方である3!=6でわればよいことになります。つまり60÷6=10通り。これが答えです。

 

これを組み合わせ(記号C)を使って表すと5C3となります。先ほども言ったように、5人のうちから3人並べるのを選んだ3人の順列で割ることを意味するので数式にすると

 

5C3=5!/[(5−3)!×3!]

 

となります。

 

まとめ

• 組み合わせは順列と異なり、順番は無視できる。