95%信頼区間とは

前回のデータから母集団を推定する方法では、仮説のもとでの母集団から出てくるデータから母集団を推定して妥当かどうかを調べました。今回は95%信頼区間についてみていきたいと思います。

 

 

95%信頼区間とは

前回の選挙の立候補者の〇×の例では母数として16人は妥当ではあるけれども、36人では妥当ではないという結論に至りました。当然ではありますが、どこかで妥当であるところと妥当でないところの境界線があるということになります。

 

μ−1.96σ〜μ+1.96σの中に母数Nが入るかどうかという方法で判断したので、これを不等式にすると、μ−1.96σ≦N≦μ+1.96σを満たすかどうかで判断できるとも言えます。これをさらに式変形すると、

 

−1.96σ≦N−μ≦+1.96σ

 

−1.96≦(N−μ)/σ≦+1.96

 

となります。つまり(N−μ)/σがー1.96〜＋1.96に入れば妥当ということになります。例えば前回の16人をこの式から計算すると、(10−8)/2=1となり、これはー1.96〜＋1.96の範囲内なので妥当となります。

 

この作業を全ての母数に対して行っていくと、妥当な母数として推定される区間を設定できることになります。最初の候補であった20を起点にプラスマイナスの前後の数字で出していくと以下のようになるはずです。

 

• 12；2.30
• 13；1.94
• 14；1.60
• 15；1.29
• 16；1
• 17；0.72
• 18；0.47
• 19；0.23
• 20；0
• 21；-0.22
• 22；-0.43
• 23；-0.63
• 24；-0.82
• 25；-1
• 26；-1.18
• 27；-1.35
• 28；-1.51
• 29；-1.67
• 30；-1.83
• 31；-1.98

 

12は2.30、31は-1.98とー1.96〜＋1.96から外れることになり妥当ではなくなります。つまり、母数Nとしては13〜30が妥当であるとわかります。このような母数として妥当な区間を95%信頼区間と言います。

 

では例題で理解を深めましょう

 

 

例題

血圧を測定したところ120であった。この血圧が実際の血圧を平均とし、血圧が標準偏差5の正規分布をする場合、実際の血圧の平均値はどの範囲と推定すればよいか95%信頼区間を用いて答えよ。

 

95%信頼区間の式は−1.96≦(N−μ)/σ≦+1.96でした。

 

求める実際の血圧の平均値をμとすると、−1.96≦(120−μ)/5≦+1.96

 

−9.8≦(120−μ)≦+9.8

 

−129.8≦−μ≦−110.2

 

129.8≧μ≧110.2。これが答えです。

 

まとめ

• 様々な観測値から同じ方法で区間推定をして、そのうち95%は正しい母数を含んでいるものを95%信頼区間という